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        感谢天，感谢地，感谢命运让我们相遇！

        不对、不对，“即使我们工作取得了极其伟大的成绩，也没有任何值得骄傲自大的理由。虚心使人进步，骄傲使人落后，我们应当永远记住这个真理”。江水源把图书管理员的箴言默念三遍，摆正心态，继续往下做题。

        不到十点，江水源已经如同砍瓜切菜一般，把前面十二道题目全部解决，顺利抵达及格线。他甩甩手腕，决定一鼓作气，在午饭前结束所有战斗，用学三食堂的火腿炒饭来欢庆高代的10学分顺利到手。然后他就遇到了第13题。

        设a、b是n阶实对称阵且ab+ba=0。证明：若a是半正定矩阵，则存在正交矩阵p，使得p'ap=diag{λ1，...，λr，0，...，0}，p'bp=diag{0，...，0，μr+1，，μπ）。

        题目看上去有些难度，关键后面还缀了个尾巴：至少用2种以上方法证明。由此看来，出题者不是洗心革面，放下屠刀吃斋念佛了，而是思路发生了点小变化。前12题是基础题，保证只要基本功扎实就能顺利过关；后面8题则是提高题，难度迅速抬升一个数量级，似乎刻意是要对答题者的能力做出筛选分级。

        既然如此，那就来吧！

        江水源心中略作盘算。虽然反交换的矩阵不一定有公共的特征向量，但是a的半正定性使得只需要把问题限制在零特征值的特征子空间上讨论就行了，此时a、b的反交换性就变成了交换性。所以第一种方法就是利用不变子空间理论，将问题转化成几何的语言，就可以很容易证明结论。

        刚刚写完，他又想到了另外一种方法，利用实对称阵的正交相似标准形理论，假设a是正交相似标准形来做。嗯，so_easy!

        进度13/20!

        江水源刚要翻到下一题，突然想到一种更巧妙的方法，即利用a^2、b可以同时正交对角化，再用到半正定矩阵算术平方根的唯一性来证明，这种方法不仅更自然，也更简单。

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